#头条(tiao)创作挑战赛#
高中数学基础知识非(fei)常重要，但是有一些题(ti)目却不一定要用到这些基础(chu)知识，而是可以选(xuan)择更简便的方法，特别(bie)常见于选择题。比如下面这道(dao)2022年新高(gao)考数学全国卷II，关于三角函数公式的选择题。当然可(ke)以利用几个常用的三角函(han)数公式来解决，但也(ye)可以绕开这些公式，解决起来会更简便(bian)。
若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π/4)sinβ, 则
A. tan(α+β)=-1；B. tan(α+β)=1;C. tan(α-β)=-1；D. tan(α-β)=1.
分(fen)析：这道题当然是有速(su)解的方法的，但是老黄担(dan)心你听完速解的方法，就不管(guan)一般的方法了，所(suo)以决定先讲一般的解法，基础扎实才是王(wang)道啊。
一个角的正弦与余弦的和，可以化(hua)为这个角与四分之π的和的正(zheng)弦函数的√2倍，这个公式(shi)一定要记牢哦。
如果是sina+cosa=√2sin(a+π/4)的形式，可能(neng)更多人容易接受，但这里的角却是(shi)“α+β”，有些小伙伴可(ke)能就会适应不了了。
然后把等式右(you)边的正弦看com作两(liang)角和的正弦，一个角是α+π/4，另一个角是β。运用“和的正弦公式”展开，就可以得(de)到√2sin(α+π/4)cosβ+√2cos(α+π/4)sinβ=2√2cos(α+π/4)sinβ.
现在等式(shi)两边有同类项，进(jin)行移项合并，并(bing)且可以选择约掉系数(shu)√2，得到：sin(α+π/4)cosβ-cos(α+π/4)sinβ=0.
不过留着√2也不是没用的。现在运用(yong)两角差的正弦公式的(de)逆公式，可以得(de)到sin(α-β+π/4)=0.
观察这个式子，有没(mei)有发现，它是第一步的(de)一个逆过程，即可以转化为同一个角(jiao)的正弦和余弦的和的形式，只不(bu)过这次这个角变成了“α-β”，而(er)不是“α+β”了。
即sin(α-β)+cos(α-β)=0,从而可知，α-β的正弦和余弦(xian)互为相反数。因此有tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β)=-1, 选C.
整个解题过程(cheng)其实是对称的，感觉还是相当解压的。不过这种解(jie)法很容易引来网友的(de)吐槽，因为聪明的人太多，他(ta)们一眼就能看出(chu)，老黄的这个解法太过拖沓(da)。只要运用“特值法(fa)”，这道题就可以轻松地解决(jue)。聪明人是不会为老(lao)黄这样的笨人考虑一下(xia)的。下面老黄就给有需(xu)要的小伙伴们介(jie)绍速解的方法。
只要取β=0，那么就有sinα+cosα=0, 再取α=-π/4, 从而tan(α+β)=-1，tan(α-β)=-1;，这样就可以排除B、D选(xuan)项。但却不能肯定C是正确的(de)。因为想要否定一件事情，只需一个(ge)特例就足够了。但想要证明(ming)一件事情，一个特例却并不足够(gou)。
其中β是任取的，只要取一个适合运算的值就(jiu)可以了，而α并不是任取的，因(yin)为一个周期内，有两个(ge)α满足正弦和余弦相反的条件。从而在(zai)每个周期中都有符合条件的α，这(zhe)样的α有无穷个，我们只要取一个符(fu)合条件，且方便我们运(yun)算的就可以了。
再取(qu)α=０，同样是任取的。那么就(jiu)有sinβ+cosβ=2sinβ, 可化得sinβ=cosβ，从(cong)而可以在无数个(ge)满足条件的β中取β=π/4, 则tan(α+β)=1，排除A. 选(xuan)C. 虽然理论上我们并没有证明(ming)C是正确的，但也没有确定它是错误(wu)的。而A，B，D已经确定(ding)错误，除非题目没有正(zheng)确的选项，否则就只能选C。
严格来说，这种方法不能(neng)称为简便解法，因为它其实是不(bu)严谨的。实际上它是探究问(wen)题的一种方法，但一般只是探(tan)究问题整个过程中的一个部分，在考试(shi)中可以用来解决选择或填空等小题(ti)，不能当作一种完整严谨的解法。你怎么看呢？
